ISBNコードのヒミツ

皆さんISBNコードって知ってますか。知らない人はISBNをクリックして、はてなキーワードで勉強しませう。
ISBNコードは、10桁の数字(と末尾につくことのあるX)で構成されている図書の識別こーどなんですが、実は最後の1桁は図書のidentityとしての意味はありませぬ。
どういうことかというと、最後の1桁はエラーチェック用の桁なのです。前の9桁の数字が間違いなく入力されているかどうか、この1桁によって(完全ではないにしろ)チェックすることが可能となります。
具体的にはどうなるんでせうか。まず、ISBNコードの数字を左から順にとします。そして、を11で割った余りが0となるように、を0〜10の間で決めます。こうすることで、完璧ではないにしろ、入力ミスがあるとわかるようになっているのです。
このチェックにより、以下の2点のミスが防がれます。

• 1桁の数字の間違い
• 異なる数字の交換(12と21、159と951など)

1点目はあからさまに明らかなので、2点目について簡単に証明を付けておきます。

(proof)
Form1:
Form2:
としたとき、なる条件の下でを示せばよい。
Form1-Form2より


ここでであるから、
よってが示された。
Q.E.D.

簡単な初等整数論の問題っぽいです。ちなみに、実際に最後の1桁の値を求めるときは、これも初等整数論の議論により、は、を11で割った余り(10になるときはX)とすればよいです。暇な人はこの結果を定義から導いてみてはいかが。